Mae June wedi gwasanaethu fel Comisiynydd a Chadeirydd Pwyllgor Cymru y Comisiwn Cydraddoldeb a Hawliau Dynol, fel Comisiynydd i’r Gwasanaeth Sifil, ac fel aelod lleyg o gorff llywodraethu Prifysgol Glasgow.
Mae wedi gweithio drwy gydol ei gyrfa mewn gwasanaeth cyhoeddus gan gynnwys rolau fel Llywodraethwr mewn carchardai diogelwch eithaf a hirdymor, fel diplomydd yn cynrychioli’r DU i’r sefydliadau Ewropeaidd ym Mrwsel, fel cynghorydd polisi gweinidogol a phrif ysgrifennydd preifat. Yn ddiweddar, roedd hi’n aelod o’r bwrdd ac yn Gyfarwyddwr Cyffredinol Llywodraeth Leol a Chymunedau yn Llywodraeth Cymru. Bu June yn ymddiriedolwr gyda’r Young Foundation.